Дайте определение степени с действительным показателем. Степень числа: определения, обозначение, примеры

Степень с рациональным показателем

В множество рациональных чисел входят целые и дробные числа.

Определение 1

Степень числа $а$ с целым показателем $n$ является результатом умножения числа $а$ самого на себя $n$ раз, причем: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$; $a^n=\frac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}$, при $n

Определение 2

Степень числа $а$ с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ называется корнем $n$-ной степени из $a$ в степени $m$: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$, где $а>0$, $n$ – натуральное число, $m$ – целое число.

Определение 3

Степень нуля с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ определяется следующим образом: $0^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{0^m}=0$, где $m$ – целое число, $m>0$, $n$ – натуральное число.

Существует и другой подход к определению степени числа с дробный показателем, который показывает возможность существования степени отрицательного числа или отрицательного дробного показателя.

Например, выражения $\sqrt{(-3)^6}$, $\sqrt{(-3)^3}$ или $\sqrt{(-7)^{-10}}$ имеют смысл, таким образом, и выражения $(-3)^\frac{6}{7}$, $(-3)^\frac{3}{7}$ и $(-7)^\frac{-10}{6}$ должны иметь смысл, в то время, как согласно определению степени с показателем в виде дроби при отрицательном основании не существуют.

Дадим другое определение:

Степенью числа $a$ с дробным показателем $\frac{m}{n}$ называется $\sqrt[n]{a^m}$ в следующих случаях:

При любом действительном числе $a$, целом $m>0$ и нечетном натуральном $n$.

Например, $13,4^\frac{7}{3}=\sqrt{13,4^7}$, $(-11)^\frac{8}{5}=\sqrt{(-11)^8}$.

При любом отличном от нуля действительном числе $a$, целом отрицательном $m$ и нечетном $n$.

Например, $13,4^\frac{-7}{3}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $(-11)^\frac{-8}{5}=\sqrt{(-11)^{-8}}$.

При любом неотрицательном числе $a$, целом положительном $m$ и четном $n$.

Например, $13,4^\frac{7}{4}=\sqrt{13,4^7}$, $11^\frac{3}{16}=\sqrt{11^3}$.

При любом положительном $a$, целом отрицательном $m$ и четном $n$.

Например, $13,4^\frac{-7}{4}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $11^\frac{-3}{8}=\sqrt{11^{-3}}$.

При других условиях степень с дробным показателем определить невозможно.

Например, $(-13,4)^\frac{10}{3}=\sqrt{(-13,4)^{10}}$, $(-11)^\frac{5}{4}=\sqrt{(-11)^5}$.

К тому же, при применении данного определения является важным, чтобы дробный показатель $\frac{m}{n}$ был несократимой дробью.

Серьезность данного замечания в том, что степенью отрицательного числа с дробным сократимым показателем, например, $\frac{10}{14}$ будет положительное число, а степенью того же числа с уже сокращенным показателем $\frac{5}{7}$ будет отрицательное число.

Например, $(-1)^\frac{10}{14}=\sqrt{(-1)^{10}}=\sqrt{1^{10}}=1$, а $(-1)^\frac{5}{7}=\sqrt{(-1)^5}=-1$.

Таким образом, при выполнении сокращения дроби $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ не выполняется равенство $(-1)^\frac{10}{14}=(-1)^\frac{5}{7}$.

Замечание 1

Нужно отметить, что чаще применяется более удобное и простое первое определение степени с показателем в виде дроби.

В случае записи дробного показателя степени в виде смешанной дроби или десятичной, необходимо показатель степени преобразовать к виду обыкновенной дроби.

Например, $(2 \frac{3}{7})^{1 \frac{2}{7}}=(2 \frac{3}{7})^\frac{9}{7}=\sqrt{(2 \frac{3}{7})^9}$, $7^{3,6}=7^\frac{36}{10}=\sqrt{7^{36}}$.

Степень с иррациональным и действительным показателем

К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа.

Разберем понятие степени с иррациональным показателем, т.к. степень с рациональным показателем мы рассмотрели.

Рассмотрим последовательность приближений к числу $\alpha$, которые являются рациональными числами. Т.е. имеем последовательность рациональных чисел $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, которые определяют число $\alpha$ с любой степенью точности. Если вычислить степени с этими показателями $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, то окажется, что эти числа являются приближениями к некоторому числу $b$.

Определение 4

Степенью числа $a>0$ с иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение $a^\alpha$, которое имеет значение, равное пределу последовательности $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … – последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$.

Тема урока: Степень с рациональным и действительным показателями.

Цели:

Образовательные :

• обобщить понятие степени;

  отработать умение находить значение степени с действительным показателем;

  закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;

  выработать навык использования свойств степени при вычислениях.

Развивающие :

• интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

  развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

  активизировать самостоятельную деятельность;

  развивать познавательный интерес.

Воспитательные :

• воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;

  эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем

Учащиеся должны уметь:

определять имеет ли смысл выражение со степенью;

использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;

решать примеры, содержащие степень;

сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Педагогические технологии : проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно - ориентированное обучение, коммуникативное.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

презентация

формулы и таблицы (приложение 1,2)

задание для самостоятельной работы (приложение 3)

План урока

Этап урока

Цель этапа

Время,мин.

Начало урока

Сообщение темы урока, постановка целей урока.

1-2 мин

Устная работа

Повторить формулы степеней.

Свойства степеней.

4-5 мин.

Фронтальное решение у

доски из учебника №57(1,3,5)

№58(1,3,5) с подробным следованием плану решения.

Формирование умений и навыков

у учащихся применять свойства

степеней при нахождениях значений выражения.

8-10 мин.

Работа в микрогруппах.

Выявление пробелов в знаниях

учащихся, создание условий для

индивидуального развития ученика

на уроке.

15-20 мин.

Подведение итогов работы.

Отследить успешность работы

Учащихся при самостоятельном решении задач по теме, выяснить

характер затруднений, их причины,

указать коллективно пути решения.

5-6 мин.

Домашнее задание

Познакомить учащихся с заданием на дом. Дать необходимые пояснения.

1-2 мин.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Здравствуйте ребята! Запишите в тетрадях число, тема урока.

Рассказывают, что изобретатель шахмат в награду за свое изобретение попросил у раджи немного риса: на первую клетку доски он попросил положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью- ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки.

Его просьба показалась радже слишком скромной, однако вскоре выяснилось, что выполнить её невозможно. Число зёрн, которые нужно было передать изобретателю шахмат в награду, выражается суммой

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Эта сумма равна огромному числу

18446744073709551615

И она столь велика, что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты, включая мировой океан.

Степени используют при записи чисел и выражений, что делает их более компактными и удобными для выполнения действий.

Часто степени употребляются при измерении физических величин, которые могут быть «очень большими» и «очень маленькими».

Масса Земли 6000000000000000000000т записывают в виде произведения 6.10 21 т

Диаметр молекулы воды 0,0000000003м записывают в виде произведения

3.10 -10 м.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Итак а x ,где х- действительное число. Выберите из выражений

С натуральным показателем

С целым показателем

С рациональным показателем

С иррациональным показателем

3. Какая наша цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков

4 . Степень с рациональным показателем

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Не существует

Не существует

5 . Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:

6 . Определение

Если число r - натуральное, то а r есть произведение r чисел, каждое из которых равно а:

a r = a . a . … . a

Если число r - дробное и положительное, то есть, где m и n - натуральные

числа, то

Если показатель r является рациональным и отрицательным, то выражение a r

определяется как величина, обратная к a - r

или

Если

7 . Например

8 . Степени положительных чисел обладают следующими основными свойствами:

9 . Вычислить

10. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

1)Основания умножаются, а показатель остаётся прежним

Б)При делении степеней с равными основаниями

2)Основания делятся, а показатель остаётся прежним

В)При возведении степени в степень

3)Основание остаётся прежним, а показатели умножаются

Г)При умножении степеней с равными показателями

4)Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются

Д)При делении степеней с равными показателями

5)Основание остаётся прежним, а показатели складываются

11 . Из учебника (у доски)

Для решения в классе:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . По материалам ЕГЭ

(самостоятельная работа) на листочках

XIV века.

14. Домашнее задание

§ 5 (знать определения, формулы)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

В заключение урока:

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

– Так сказал великий русский математик Михаил Ломоносов.

– Спасибо за урок!

Приложение 1

1.Степени. Основные свойства

Показателем

a 1 =a

a n =a.a. … .a

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Степень с целым показателем

a 0 =1,

где a

0 0 -не определено.

Степень с рациональным

Показателем

где a

m n

Степень с иррациональным показателем

Ответ: ==25,9...

1. a x . a y =a x+y

2.a x : a y = = a x-y

3. .(a x ) y =a x.y

4.(a.b) n =a n .b n

5. (=

6. (

Приложение 2

2. Степень с рациональным показателем

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Не существует

Не существует

Приложение 3

3. Самостоятельная работа

Впервые действия над степенями использовал французский математик XIV века.

Расшифруйте фамилию французского ученого.

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для



Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

• Упростить выражение.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представить в виде степени.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Представить в виде степени.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важно!

  Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

  Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

  Будьте внимательны!

  Свойство № 3
  Возведение степени в степень

  Запомните!

  При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

  (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

  
  

  Свойства 4
  Степень произведения

  Запомните!

  При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

  (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важно!

  Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

  (a n · b n)= (a · b) n

  То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

  Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Пример возведения в степень десятичной дроби.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Свойства 5
  Степень частного (дроби)

  Запомните!

  Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

  (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Самостоятельная работа студента 1 курс по теме Степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем (6 часов)

Изучить теоретический материал и сделать конспект (2 часа)

Разгадать кроссворд (2 часа)

Выполнить домашнюю контрольную работу (2 часа)

Справочный и дидактический материал представлен ниже

О понятии степени с рациональным показателем

Некоторые наиболее часто встречающиеся

Виды трансцендентных функций, прежде

Всего показательные, открывают доступ ко

Многим исследованиям.

Л. Э й л е р

Из практики решения-все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство а 0 = 1 (для ) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его

труде «Алгоризм пропорций». Вместо нашего знака он писал , вместо он писал 4. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи): , и т.п.

Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в «Полной арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени п из числа а можно считать как степень а с дробным показателем .

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г, английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого - при введении понятия умножения на дробь и т. п.

Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.

Степенной функцией называют функцию вида

где α- постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:

где - рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:

у =1, у =х.

Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.

При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z , второе - через у, третье - через x :, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

Декарт с помощью подстановки

получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

изображающее окружность, расположенную в одной плоскости (z х) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».

И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание

Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:

Рациональное число

Целое число

Натуральное число

Иррациональное число (Действительное число)

Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

– повторить свойства степени

– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений

– отработка вычислительных навыков.

Итак, а р, где р – число действительное.

Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , , 43, ) степени

– с натуральным показателем

– с целым показателем

– с рациональным показателем

– с иррациональным показателем

При каких значениях а имеет смысл выражение

а n , где n (а – любое)

а m , где m (а не равно 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?

Где p , q (а > 0)

Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие: